中3数学・多項式の展開と因数分解｜公式を体で覚える
ほしてぃー ・
よっしゃー！いこうか！中3数学の天王山、展開と因数分解だ。
ここでつまずくと、その後の「平方根」「二次方程式」「相似」までドミノで詰む。逆に、ここを乗り越えたら、中3の数学はガチで景色が変わる。マジで。
結論からぶつける。展開と因数分解は、「公式を頭で覚える」のではなく「手と目で覚える」。それだけ。今日この記事を読み終わったあと、君がやることはたった3つ。最後に書いとくから、まず一緒に整理していこう。でっ！
展開と因数分解とは？まず3行で結論
展開と因数分解は、お互いに逆の作業だ。
- 展開 → かっこを外して、ばらばらの和の形にする
- 因数分解 → ばらばらの式を、かけ算の形に戻す
- どっちも、たった4つの公式で9割いける
これだけ。おれが17年見てきて感じるのは、ここで「公式が多すぎてムリ…」って言う子の9割は、公式を声に出して書いていない。目で追って終わってる。それだと体に入らない。
ほしてぃーが塾でいつも生徒に言うのは、「公式は、3回口で言って、5回手で書け」。たったこれだけで、定期テストの正答率が一気に上がる。これ、ガチで。
ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。
展開公式で点を取る3つのコツ
中3で出てくる展開公式は、メインで4つ。
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- (x+a)² = x² + 2ax + a²
- (x-a)² = x² - 2ax + a²
- (x+a)(x-a) = x² - a²
これを丸暗記じゃなく、コツで沈める。
コツ① 真ん中の項に集中する
展開で一番ミスが多いのは、真ん中の係数だ。最初と最後の項は割と合う。真ん中だけ落とす子が、めちゃくちゃ多い。だから、展開したら一番先に「真ん中の項、合ってる？」って自分に聞く。これだけでケアレスミスは半分に減る。
コツ② 符号は色を変えて書き出す
(x-3)² みたいにマイナスが入った瞬間、ミス率が跳ね上がる。自分は、生徒にこう教えてる：マイナスは赤ペン、プラスは黒ペンで書け。視覚で分けるだけで、符号ミスが激減する。
コツ③ a²-b² の形を見たら、即 (a+b)(a-b) を疑う
x²-9 が出てきた瞬間、「あ、これ和と差だ」と反射的に思えるようになるまで、10問解く。これは知ってるかどうかの戦いだから、知って手を動かしたら勝ち。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。
因数分解でつまずく定番パターンと、その抜け方
因数分解は、展開を逆にやるだけ。なんだけど、「逆」っていうのが、人間の脳には地味にしんどい。だから、迷ったときに見る順番を決めておけば、迷子にならない。
抜け方① まず「共通因数」がないか見る
6x² + 9x の場合、まず 3x でくくる → 3x(2x+3)。最初に共通因数を出すクセをつけるだけで、その後の公式選びが一気に楽になる。
抜け方② 次に「a²-b²」の形か見る
x²-25 を見たら、即 (x+5)(x-5)。和と差の形は、見た瞬間に手が動くまで体に入れる。
抜け方③ それでも分からなければ「足してb、かけてc」
x²+5x+6 の形を見たら、**「足して5、かけて6になる2つの数」**を探す → 2 と 3 → (x+2)(x+3)。これがすべての基本。
おれが見てきた中で、ここでつまずく子のパターンはほぼ1つ。「2つの数を、いきなり頭の中で探そうとする」。それは天才しかできない。普通の人間は、紙に「6 = 1×6, 2×3」って書き出して、その中から「足して5」になる組を選ぶ。これでいい。
でも安心してくれ、戻ればいけるから。書き出すクセさえ作れば、3週間で「見た瞬間に答えが出る」スピードまで来る。これは17年で何百人も見てきた事実だ。
実際に解いてみる（例題2問）
例題1：展開
(x+4)(x-7) を展開せよ。
→ 公式 (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab を使う → a=4, b=-7 だから、a+b = -3、ab = -28 → 答え：x² - 3x - 28
ここでも、真ん中の項 -3x をミスる子が出る。「4-7 = -3」を声に出して確認する。これだけ。
例題2：因数分解
x² + 7x + 12 を因数分解せよ。
→ 足して7、かけて12になる2つの数を探す → 12 = 1×12, 2×6, 3×4 → この中で足して7になるのは 3 と 4 → 答え：(x+3)(x+4)
紙に「3 と 4」って書き出してから選んで大丈夫。むしろそれが正解の解き方だ。
まとめ：今日からやることはこの3つ
ここまで読んでくれた君、最高だ。最後にやることをぎゅっとまとめる。
- 展開公式4つを、今日中に口で3回・手で5回ずつ書く
- 因数分解は「共通因数 → a²-b² → 足してb・かけてc」の順番で見るクセをつける
- 例題を毎日3問、最低2週間続ける（量より、毎日触ること）
中3の数学は、ここで景色がガラッと変わる。展開と因数分解を体に入れた瞬間、二次方程式も平方根も、別ゲームみたいに解けるようになる。マジで。
おれは、君がここで踏ん張れるって信じてる。今日、まず公式を声に出すところから。たった1分で始められる。
よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！