傾き求め方・切片の求め方｜一次関数の式を作る3パターン（例題つき）【中2数学】

よっしゃー！今日のテーマは「傾きと切片の求め方」だ。結論から言う。一次関数 y＝ax＋b で、傾きa＝yの増加量÷xの増加量、切片b＝x＝0のときのyの値。この2つが分かれば式は完成する。そして問題は「グラフから」「2点から」「表から」の3パターンしか出ない。今日で全部の型を手に入れるぞ。

傾きと切片とは？まず言葉を固める

一次関数の式は y＝ax＋b の形だ。aが傾き、bが切片。

傾きaは「xが1増えるとyがいくつ増えるか」。グラフで言えば、右に1進んだときに上に何マス上がるか。右上がりならプラス、右下がりならマイナスだ。中1で習った「変化の割合」と同じもので、一次関数では変化の割合＝傾き＝常に一定になる。

切片bは「グラフがy軸と交わる点のy座標」。x＝0を式に入れたときのyの値だ。y＝2x＋3なら、x＝0でy＝3。だからグラフは(0, 3)を通る。

手順は2ステップ。①y軸と交わる点を読む→それが切片b。②格子点（座標がきれいな整数の点）を2つ見つけて、右にいくつ・上にいくつ進むかを数える→それが傾きa。

例題。グラフが(0, 1)と(2, 5)を通っているとき、式を求めよ。

y軸との交点が(0, 1)だから b＝1。(0, 1)から(2, 5)へは、右に2、上に4だから a＝4÷2＝2。よって y＝2x＋1。

右下がりのグラフなら、上ではなく「下に」進むのでaはマイナスになる。右に2、下に4なら a＝－4÷2＝－2 だ。

グラフがなくても、通る2点が分かれば式は作れる。手順：①傾きa＝（yの差）÷（xの差）を計算。②y＝ax＋bに片方の点を代入してbを求める。

例題。2点(1, 3)、(3, 7)を通る一次関数の式を求めよ。

①傾き a＝（7－3）÷（3－1）＝4÷2＝2。②y＝2x＋bに(1, 3)を代入。3＝2×1＋b → b＝1。よって y＝2x＋1。検算として、もう片方の点(3, 7)を入れる。2×3＋1＝7。合っている。

符号ミスを防ぐコツは、yの差もxの差も「同じ点から同じ点へ」引くこと。(3, 7)から(1, 3)を引くなら、yは7－3、xは3－1。逆にするなら両方逆にする。片方だけ逆にすると符号が反対になる。

xとyの対応表が与えられたら、パターン2と同じだ。表から2組の(x, y)を取り出して、2点の問題に直す。

例題。x＝0のときy＝－2、x＝3のときy＝4。式を求めよ。

x＝0のときのyが切片だから、いきなり b＝－2。傾きは（4－（－2））÷（3－0）＝6÷3＝2。よって y＝2x－2。表にx＝0があるときは、切片が直接読めるので速い。

テストで「変化の割合を求めよ」と聞かれたら、一次関数なら答えは傾きaそのものだ。y＝3x－5の変化の割合は3。計算し直す必要はない。

逆に「xの増加量が4のとき、yの増加量は？」と聞かれたら、yの増加量＝a×xの増加量。y＝3x－5でxが4増えれば、yは3×4＝12増える。切片bは関係ない。ここもよく出る。

Q. 傾きがマイナスのグラフは、どう考えればいい？

A. 右に進むとyが減る、右下がりのグラフ。傾き－2なら「右に1進むと下に2」。計算では、yの増加量がマイナスになるだけで、公式はまったく同じだ。

Q. 切片がグラフから読めない（y軸との交点が整数じゃない）ときは？

A. パターン2に切り替える。格子点を2つ見つけて傾きを出し、片方の点を代入してbを求める。切片は「読む」だけでなく「計算で出す」手段も持っておこう。

Q. 傾きと切片、どっちを先に求めるべき？

A. 基本は傾きが先。切片はグラフから読める場合だけ先に決めてOK。2点や表から作るときは、傾き→代入→切片の順が最短だ。

1つ、「傾き＝yの増加量÷xの増加量」「切片＝x＝0のときのy」を声に出して覚える。2つ、2点から式を作る問題を3問、検算つきで解く。3つ、変化の割合を聞かれたら傾きを即答する練習をする。これで一次関数の式づくりは満点が取れる。

一次関数の全体像は中2数学・一次関数のまとめで復習できる。グラフのかき方は一次関数のグラフのかき方、応用は一次関数の文章題で仕上げよう。

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よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！