中3数学・三平方の定理｜入試で点が取れる典型問題

よっしゃー！いくぞ！今日は中3数学の山場、三平方の定理だ。

結論から言う。三平方の定理は「直角三角形の3辺の長さをつなぐ、たった1本の式」。これさえ握れば、図形問題で取れる点が一気に増える。入試でめちゃくちゃ出るのに、コツを押さえれば10分で武器になる。だから今日、ここで決めようぜ。

おれが17年、中3を見てきて感じるのは、三平方でつまずく子の9割は「公式は知ってるのに、どこに当てはめるか」で止まってるってこと。逆に言えば、当てはめ方さえ体で覚えれば、君はもう点を取れる。でっ！さっそくいこう。

三平方の定理とは？まず3行で結論

三平方の定理はこれだけ。直角三角形で、直角をはさむ2辺をa、bとして、一番長い辺(斜辺)をcとすると、

a² + b² = c²

これが成り立つ。たったこれだけ。たとえば直角をはさむ辺が3と4なら、3² + 4² = 9 + 16 = 25。だからc² = 25で、c = 5。有名な「3・4・5の直角三角形」だ。

ここで一番大事なのは、斜辺(c)が直角の向かい側にある一番長い辺だってこと。ここを取り違えると全部ズレる。塾でいつも生徒にこう言ってる：「まず直角を探せ。その正面が斜辺だ」。これだけで事故が激減する。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

三平方の定理で点を取る3つのコツ

自分が現場で教えてる、点に直結するコツを3つ渡す。

1つ目。有名な3辺の組をまるごと覚える。3・4・5、5・12・13、8・15・17。この3組は入試の常連だ。計算しなくても答えが見える。マジで時短になる。

2つ目。特別な直角三角形の比を覚える。45°・45°・90°の三角形は辺の比が1 : 1 : √2。30°・60°・90°の三角形は1 : 2 : √3。この2つは正方形や正三角形を半分にしたときに出てくる。覚えてる子と覚えてない子で、解く速さが倍ちがう。

3つ目。√の中はそれ以上きれいにする。たとえば√20が出たら、√20 = √(4×5) = 2√5まで直す。ここを雑にすると、答えが合ってるのにバツになる。もったいない。ここで差がつく。

ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。

三平方の定理でつまずく定番パターンと、その抜け方

めちゃくちゃ多いんだけど、ここでつまずく子のパターンは決まってる。

まず、斜辺を取り違えるパターン。a² + b² = c²のcは斜辺。なのに、求めたい辺をいつもcに置いてしまう子がいる。違う。斜辺じゃない辺を求めるときは、b² = c² − a²みたいに引き算になる。たとえば斜辺13、片方の辺5なら、b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。だからb = 12。引くんだ、ここは。

次に多いのが、図形の中に直角三角形が「隠れてる」のに気づけないパターン。長方形の対角線、正三角形の高さ、円の弦。これ全部、補助線を1本引くと直角三角形が出てくる。でも安心してくれ、慣れれば見えるようになるから。おれも最初は見えなかった。何問も解くうちに、図を見た瞬間「あ、ここ直角だ」って光るようになる。

抜け方はシンプル。直角を見つける→斜辺はどこか確認する→足すのか引くのか決める。この順番。これだけ。ここ、塾で何回も言ってるところだ。

実際に解いてみる（例題2問）

手を動かそう。一緒に解くぞ。

例題1。直角をはさむ2辺が6cmと8cmの直角三角形。斜辺の長さは？ → 6² + 8² = 36 + 64 = 100。c² = 100だからc = 10cm。これ、実は3・4・5を2倍した6・8・10だ。組を覚えてたら一瞬で見えるやつ。

例題2。1辺が4cmの正方形の対角線の長さは？ → 正方形を対角線で切ると、45°・45°・90°の直角三角形になる。辺の比は1 : 1 : √2。だから対角線は4 × √2 = 4√2 cm。約5.6cm。比を覚えてたら計算いらずだろ？

どうだ、当てはめるだけで答えが出る。この感覚を体に入れてくれ。

まとめ：今日からやることはこの3つ

今日のゴールはここ。明日から君の武器にしよう。

• a² + b² = c² を声に出して10回唱える。斜辺はc、直角の正面だと確認する
• 有名な組(3・4・5／5・12・13／8・15・17)と、特別な比(1 : 1 : √2／1 : 2 : √3)を紙に書いて覚える
• 教科書の例題を2問、補助線を引いて直角三角形を見つける練習をする

これを3日続けたら、図形問題を見る目が変わる。自分が17年見てきて、ここから戻ってきた子は本当に多い。君ならいける。

次のブログでも、また熱い話をするから待っとけよ。

よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！