中3数学・平方根のルール｜中3が一番つまずく単元の整理

よっしゃー！いこうか！

今日のテーマは、中3数学の中で 一番つまずく子が多い「平方根（へいほうこん）」 だ。

結論から言うぞ。平方根は、「2乗したら元に戻る数」 のことで、ルートの記号（√）の中身を整理できるかどうかで点数が決まる。それだけ。マジで、それだけだ。

おれは塾の現場で17年、中3を見てきた。平方根で泣きそうになってる子、ガチで多い。でも安心してくれ。「ルールが3つしかない」 ってことを掴めば、ここから先がスッと開ける。今日でそこを終わらせる。いくぜ。

平方根とは？まず3行で結論

平方根とは、2乗するとaになる数のこと。だから、aの平方根は +√a と −√a の2つ がセットになる。ここでつまずく子が9割。「平方根が2つある」って事実をまず体に入れてくれ。

そして、√a（ルートa） という記号は、aの正のほうの平方根 だけを指す。だから √9 = 3 であって、−3 ではない。「9の平方根は？」と聞かれたら ±3、「√9 は？」と聞かれたら 3。ここの違い、めちゃくちゃ大事だから2回読んでくれ。

例えば、25の平方根は ±5、49の平方根は ±7、100の平方根は ±10。これがスッと言えるようになると、平方根の世界は一気にラクになる。

ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。

平方根で点を取る3つのコツ

自分（ほしてぃー）が17年、中3に教えてきて結論が出ているコツが3つある。これだけ押さえれば、定期テストの平方根は8割取れる。ガチで。

コツ1：a√b の形に直す（ルートを「外に出す」）

√の中身に 2乗の数が隠れていたら外に出す。これだけ。

√12 = √(4×3) = 2√3
√50 = √(25×2) = 5√2
√75 = √(25×3) = 5√3

中身をできるだけ小さく、外をできるだけ大きく。これが「ルートの整理」の鉄則だ。

コツ2：たし算・ひき算は「同じルート」だけまとめる

平方根のたし算ひき算は、文字式の x と y と同じ感覚で考える。

2√3 + 5√3 = 7√3 （← 同じ √3 だからまとめられる）
2√3 + 5√2 = まとめられない（← 中身が違う）

ここでよくある事故が、「√2 + √3 = √5 にしてしまう」 ってやつ。これはマジで違う。中身がちがうルートはたせない。これだけ覚えてくれ。

コツ3：分母の有理化（ぶんぼのゆうりか）

分母にルートがあったら、分母分子に同じルートをかけて、分母からルートを消す。

1/√2 = (1×√2)/(√2×√2) = √2/2
3/√5 = (3×√5)/(√5×√5) = 3√5/5

ここ、塾でいつも生徒にこう言ってる：「分母にルートが残っていたら、答えとして未完成だぞ」と。ここを最後に必ずチェックするクセをつけるだけで、減点が消える。

ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

平方根でつまずく定番パターンと、その抜け方

ここからは、現場で実際に多発しているミスを3つ挙げる。きみが今やっているミス、たぶんこの中にある。

パターン1：ルートの中身を引き出す前に計算してしまう

√12 をそのまま使って計算を進めると、後で詰む。まず最初に a√b の形に直す。これが平方根の問題を解くときの一番最初の作業だ。問題を見たら、いきなり計算じゃなくて「中身を整理できないか？」を疑う。これだけで正答率がぐんと上がる。

パターン2：かけ算とたし算の混同

√a × √b = √(ab)　← かけ算はルートをかけられる
√a + √b = √(a+b) ← これは違う！ たし算はそのまま中身を足せない

ここを混同してる子、ガチでめちゃくちゃ多い。「ルートはかけ算とわり算は中身で動かせる、たし算とひき算は同じルートだけまとめる」。この一文を声に出して10回言ってくれ。

パターン3：分母の有理化を忘れる

計算が合っていても、答えが 3/√2 のままだと部分点しかもらえない。最後に必ず分母にルートが残ってないかチェック。これだけで満点が取れる問題、本当に多い。

めちゃくちゃシンプルだろ？でも、ここでつまずいて60点が80点に化けない子、現場で本当に多いんだ。だからこそ、ここを今日きっちり押さえてほしい。

実際に解いてみる（例題2問）

例題1：√48 を a√b の形に直せ

やることは「中身に隠れた2乗を見つける」。

48 = 16 × 3
16 = 4²（2乗）
だから √48 = √(16×3) = 4√3

答え：4√3

例題2：3/√6 を有理化せよ

やることは「分母分子に √6 をかける」。

3/√6 = (3 × √6) / (√6 × √6) = 3√6/6 = √6/2

答え：√6/2

最後に約分も忘れないこと。3/6 = 1/2 だから、分子と分母を3で割って √6/2 にする。ここまでで1問完成だ。

まとめ：今日からやること3つ

よっしゃー、いっしょにいこう！今日からきみがやることは、たった3つでいい。

平方根の3つのルール（a√bに直す／同じルートだけまとめる／分母を有理化する）を、声に出して言える状態にする
教科書の平方根の章の例題を、今日中に5問だけ解く（多くなくていい、5問でいい）
解いた問題は必ず最後に「分母にルートが残ってないか？」をチェックする

これだけで、平方根のテストで失点する子の8割は救える。マジで。

中3の数学はここから一気にスピードが上がる。平方根は、二次方程式・三平方の定理・y=ax² まで全部つながる入口の単元だ。ここで諦めなければ、入試本番までずっと武器になる。逆に、ここをサボると、後で全部に響く。だから今日、ここでスイッチを入れてくれ。

おれは、きみがこの単元を越えられるって信じてる。いー夢見ろよ。

よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！