中3数学・円周角の定理｜入試で出る使い方3パターンを例題で解説

よっしゃー！いこうか！今日は中3数学のヤマ場、円周角の定理だ。

最初に結論からぶつけるぞ。円周角の定理は、たった3つのルールを覚えれば入試で点が取れる。「円周角は中心角の半分」「同じ弧の円周角は等しい」「直径に対する円周角は90°」。この3つ。これだけだ。

「図形は苦手」「角度の問題でいつも止まる」——その気持ち、めちゃくちゃ分かる。でも安心してくれ。円周角は、覚える量がガチで少ない単元なんだ。暗記がほとんどいらないのに、入試では毎年のように出る。つまり、コスパ最強。やらない手はないぞ。

円周角の定理とは？まず3行で結論

円周角の定理とは、円の中にできる角度の関係を表したルールだ。3行でいくぞ。

1つ、同じ弧に対する円周角は、中心角のちょうど半分。 2つ、同じ弧に対する円周角は、円周上のどこにあってもすべて等しい。 3つ、直径（半円の弧）に対する円周角は、いつでも90°。

自分が17年教えてきて感じるのは、ここで「中心角ってどれ？」「弧ってどこ？」が曖昧なまま進む子がめちゃくちゃ多いってことだ。中心角は円の中心からできる角、円周角は円周上の点からできる角。まずこの2つの言葉を、図でしっかり区別してくれ。ここがスタートライン。

ここまでOK？よし、次いくぞ。

でっ！ここからが本番だ。入試で出る使い方は、大きく3パターンに分かれる。

パターン1、中心角から円周角を出す（その逆も）。中心角が80°なら、円周角はその半分で40°。逆に円周角が35°なら、中心角は2倍の70°。「半分」と「2倍」を行き来するだけ。塾でいつも生徒にこう言ってる：「迷ったら、中心角はデカい、円周角は小さい、半分の関係」。

パターン2、同じ弧に対する円周角は等しい。1つの弧をはさんで円周上に点がいくつかあると、その角はぜんぶ同じ大きさになる。問題の中で「あれ、この角とこの角、同じ弧を見てるな」と気づけるかどうか。ここがやばいポイントだ。

パターン3、直径に対する円周角は90°。円の直径を1辺にして三角形を作ると、残りの頂点の角はいつでも直角になる。これに気づくと、そのまま三平方の定理につなげられる。入試の応用問題は、この合わせ技がめちゃくちゃ多い。

この3つを「どの場面で使うか」までセットで覚える。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

正直に言う。円周角でつまずく子の理由は、だいたい決まってる。

1番多いのが、「どの弧を見ているか」を取り違えるパターン。円周角は、どこかの弧に対応してる。問題の角が「どの弧を見た角なのか」を指でなぞって確認する。これだけで事故が激減する。

2番目が、中心角と円周角を逆にして「2倍」と「半分」を間違えるパターン。さっきも言ったけど、中心角がデカい。これを体に入れてくれ。

3番目、直径が出てきてるのに90°に気づかないパターン。図の中に円の中心を通る直線（直径）があったら、「あ、90°が隠れてるかも」と反応する。これは慣れだ。でも安心してくれ、問題を5問も解けば反応できるようになる。

つまずくのは、君の頭が悪いからじゃない。見る順番を知らないだけ。順番さえ手に入れれば、戻ればいける。ここ、めちゃくちゃ大事だぞ。

よし、手を動かすぞ。読むだけだと身につかないからな。

例題1。円Oで、弧ABに対する中心角が100°のとき、同じ弧ABに対する円周角xは何度か。 → 円周角は中心角の半分。100° ÷ 2 = 50°。答え、x = 50°。これだけ。

例題2。円Oで、ABが直径。円周上に点Cがあり、角ABC = 35°のとき、角BACは何度か。 → 直径に対する円周角だから、角ACB = 90°。三角形の内角の和は180°。だから角BAC = 180° - 90° - 35° = 55°。答え、55°。

どうだ、パターンが分かれば一瞬だろ？おれは、解けた瞬間の「あ、できた」っていう君たちの顔を17年見続けてきた。きみにも、その顔をしてほしいんだ。

最後にまとめるぞ。今日からやることは、この3つだけ。

円周角は、覚える量が少なくて、点になりやすい。中3のいま、ここを得点源にできたら、入試本番でめちゃくちゃ強い武器になる。自分は本気でそう思ってる。

苦手だと思ってた図形が、「あ、意外といけるかも」に変わる瞬間は、すぐそこだ。いっしょにいこう。

よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！