中3数学・相似と相似比｜面積比・体積比のひっかけ

よっしゃー！いくぜ！今日は中3数学の「相似」、その中でも一番点差がつく「相似比・面積比・体積比」をやる。

先に結論を言う。相似比が a:b のとき、面積比は a²:b²、体積比は a³:b³。これだけ。相似のひっかけ問題は、ほぼ全部「相似比をそのまま面積や体積に使ってしまう」ミスから生まれる。ここを2乗・3乗で切り替えられたら、入試で落とさない単元になる。

おれは塾で17年、相似でつまずく子を見てきた。マジで多いんだ、「2:3」をそのまま面積に書いてしまう子。でも安心してくれ。理屈が分かれば10秒で直る。今日できみのものにしようぜ。でっ！さっそくいくぞ。

相似とは？まず3行で結論

相似とは、形がまったく同じで、大きさだけが違う図形のこと。 拡大・縮小でぴったり重なるなら、その2つは相似。 対応する辺の比はすべて等しくて、対応する角はすべて等しい。

ここがスタート地点。たとえばコピー機で150%に拡大したプリント。元のプリントと拡大後、形は同じで大きさだけ違うよな。これが相似のイメージだ。

自分がいつも生徒に言ってるのは、「相似はそっくりさん」ってこと。背の高さは違うけど、顔のパーツの比率が同じ親子、あんな感じ。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

三角形には相似条件が3つある。3組の辺の比がすべて等しい。2組の辺の比とその間の角が等しい。2組の角がそれぞれ等しい。この3つのどれか1つが言えれば「相似」と書ける。ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。

相似比・面積比・体積比で点を取る3つのコツ

ここがこの単元のやばいポイントだ。3つだけ覚えてくれ。

コツ1。相似比は「辺の長さの比」。対応する辺どうしで a:b と書く。これが全部の土台。

コツ2。面積比は相似比の2乗。相似比が 2:3 なら、面積比は 2²:3² = 4:9。長さが2方向に効くから2乗。ここがコツ。

コツ3。体積比は相似比の3乗。相似比が 2:3 なら、体積比は 2³:3³ = 8:27。立体は3方向に広がるから3乗。これだけ。

なんで2乗と3乗になるか、イメージで渡す。1辺が2倍の正方形は、面積が2×2=4倍になるよな。1辺が2倍の立方体は、体積が2×2×2=8倍。長さの倍率が、面積では2回、体積では3回かかる。だから2乗、3乗なんだ。

おれが現場で見てて感じるのは、この「なんで2乗?」を一回腹落ちさせた子は、もう二度と間違えないってこと。丸暗記より理屈。ここ、塾でいつもこう言ってる。「長さは1乗、面積は2乗、体積は3乗。指の数で覚えろ」って。ここまで来たら半分勝ちだ。次いくぞ。

相似比でつまずく定番パターンと、その抜け方

つまずきの9割はこれ。相似比 3:5 の三角形で「面積比は?」と聞かれて、そのまま 3:5 と答えてしまうパターン。

これが典型的なひっかけ。正解は 3²:5² = 9:25。出題者は「そのまま書く子」を狙ってる。マジで狙い撃ちされる。

抜け方はシンプル。問題文に「面積」と出たら、相似比を見た瞬間に2乗する。立体で「体積」と出たら3乗する。長さを聞かれてるときだけ、相似比そのまま。これを反射でやれるまで手を動かす。

もう1つの定番。「面積比が 9:25 のとき、相似比は?」という逆向きの問題。これは2乗を外す、つまりルートを取る。√9:√25 = 3:5。面積比から相似比に戻すときはルート。ここで止まる子、めちゃくちゃ多いんだ。

自分がよく言うのは、「行きは2乗、帰りはルート」。相似比から面積比は2乗、面積比から相似比は√。この往復をセットで覚えると、どっち向きで聞かれても落ちない。ここ、もう一回読んでくれ。次は実際に解くぞ。

実際に解いてみる（例題2問）

例題1。相似な2つの三角形があって、相似比が 2:5。小さいほうの面積が 12cm² のとき、大きいほうの面積は?

解き方。面積比は相似比の2乗だから 2²:5² = 4:25。小さいほうが4にあたって 12cm²。1あたり 12÷4 = 3cm²。大きいほうは25だから 3×25 = 75cm²。答えは 75cm²。

例題2。相似な2つの円すいがあって、相似比が 3:4。小さいほうの体積が 54cm³ のとき、大きいほうの体積は?

解き方。体積比は相似比の3乗だから 3³:4³ = 27:64。小さいほうが27で 54cm³。1あたり 54÷27 = 2cm³。大きいほうは64だから 2×64 = 128cm³。答えは 128cm³。

どうだ、めちゃくちゃシンプルだろ？比を作る、1あたりを出す、かける。この3ステップだけ。おれが見てきた中で、この型を手で3回書いた子は、本番でもう迷わなくなる。ここ、めちゃくちゃ大事。

まとめ：今日からやることはこの3つ

最後にまとめるぞ。今日からやることはこの3つだけ。

1. 「相似比 a:b → 面積比 a²:b² → 体積比 a³:b³」を声に出して3回言う。長さ1乗・面積2乗・体積3乗を体に入れる。
2. 面積比から相似比に戻すときは√（ルート）を取る。「行きは2乗、帰りはルート」をセットで覚える。
3. 上の例題2問を、何も見ずに自分の手で解き直す。比、1あたり、かける、の3ステップで。

相似は、コツをつかめば入試で安定して点が取れる、おいしい単元だ。つまずいてた子も、今日の2乗・3乗とルートの往復さえ押さえれば、ここから一気に視界が変わる。おれはきみがいけると思ってる。いー夢見ろよ。いっしょにいこう。

よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！