中3数学・y = ax²の関数｜放物線の読み方

よっしゃー！いこうか！今日のテーマは中3数学の山場、y = ax²の関数だ。

結論から言うぞ。y = ax²は「xが2倍になると、yは4倍になる」関数だ。これだけ頭に入れておけば、放物線のグラフも、変化の割合も、ぜんぶここから読める。ガチで難しくない。おれは17年この単元を教えてきたけど、つまずく子のほとんどは「公式を覚えようとしすぎて、形が見えてない」だけなんだ。

でっ！今日はその「形」を君にインストールする。最後まで読んだら、放物線が怖くなくなる。いくぜ。

y = ax²とは？まず3行で結論

y = ax²とは、yがxの2乗に比例する関数のことだ。aは比例定数。xを2乗してa倍したものがy。

ここがやばいポイント。比例（y = ax）は「xが2倍ならyも2倍」だったよな。でもy = ax²は2乗が入る。だから「xが2倍ならyは2×2=4倍」になる。xが3倍ならyは9倍。この増え方の差が、グラフの形にそのまま出る。

たとえばy = x²なら、x=1のときy=1、x=2のときy=4、x=3のときy=9。点が右に進むほどグーンと跳ね上がる。これが放物線の正体。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

y = ax²のグラフ「放物線」を読む3つのコツ

放物線のグラフは、3つだけ押さえれば読める。

コツ1。原点(0, 0)を必ず通る。x=0のときy=0だからな。グラフのど真ん中の底（または頂上）が原点だ。

コツ2。aの符号で向きが決まる。aがプラスなら下に頂点があって上に開く形。aがマイナスなら上に頂点があって下に開く形。自分はいつも生徒にこう言ってる。「aがプラスはニコニコの口、マイナスは困った口」ってな。これで一発で向きが分かる。

コツ3。aの大きさでグラフの開き方が変わる。aの数が大きいほど、グラフは細くキュッと閉じる。小さいほど、ゆるやかに開く。y = 2x²はy = x²より細い。y = (1/2)x²はもっとゆるい。

向きと開き方。この2つを読めれば、グラフ問題の半分は取れる。

ここでもう一個、得した気分になる話をするぞ。放物線は左右対称だ。y軸（x=0の線）を鏡にして、左と右がピッタリ重なる。だからx=2のときの点が分かれば、x=−2のときの点も同じ高さだと分かる。表を全部うめなくていい。半分でいけるんだ。これ、テスト本番で時間を稼ぐ武器になる。ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。

y = ax²でつまずく定番パターンと、その抜け方

つまずくポイント、めちゃくちゃ多いのがここ。「変化の割合」だ。

一次関数の変化の割合は傾きで一定だった。でもy = ax²は曲線だから、場所によって変化の割合が変わる。ここで混乱する子がほんとに多いんだ。

抜け方はシンプル。変化の割合 = yの増加量 ÷ xの増加量。この公式に当てはめるだけ。たとえばy = x²で、xが1から3まで増えるとき、yは1から9まで増える。だから変化の割合は (9−1) ÷ (3−1) = 8 ÷ 2 = 4。これだけ。

もう一つの定番。「マイナスの値を2乗するとプラス」を忘れるパターン。x = −2を代入すると、(−2)² = 4。マイナスが消える。ここ、塾でいつも口酸っぱく言ってる。でも安心してくれ、符号に丸をつけて代入すれば防げるから。

実際に解いてみる（例題2問）

例題1。y = 2x²で、x = 3のときのyを求めよ。 代入するだけ。y = 2 × 3² = 2 × 9 = 18。答えはy = 18。

例題2。y = x²で、xが2から4まで増えるときの変化の割合を求めよ。 x=2のときy=4、x=4のときy=16。変化の割合は (16−4) ÷ (4−2) = 12 ÷ 2 = 6。答えは6。

例題3。y = −x²で、x = −3のときのyを求めよ。 ここがミスの出やすいやつ。まず(−3)² = 9。そこに頭のマイナスをかけるから、y = −9。符号を2段階で処理する。これができれば中3の代入はもう怖くない。

どうだ、できたか？代入と公式当てはめ。やってることはこの2つだけなんだ。めちゃくちゃシンプルだろ？自分が現場で見てきて思うのは、この単元は「センスじゃなくて手順」で取れる。手順を3回なぞれば、君の手は勝手に動くようになる。

まとめ：今日からやることはこの3つ

最後にまとめるぞ。今日からやることはこの3つだけだ。

• y = ax²は「xが2倍でyは4倍」。この増え方を口で言えるようにする
• グラフはaの符号で向き、aの大きさで開き方。原点を通ることもセットで覚える
• 変化の割合 = yの増加量 ÷ xの増加量。マイナスの2乗はプラス、をミスらない

この単元は中3の入試で毎年出る。放物線と直線が交わる問題は、ここが土台になる。だから今ここで形をつかんでおくと、ほんとに後がラクになる。

おれは信じてる。君はここを越えられる。一歩ずつでいい、いっしょにいこう！

よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！