中2数学・二等辺三角形の性質と証明｜底角の求め方と書き方の型
ほしてぃー ・
よっしゃー！いくぜ！今日のテーマは、中2数学の「二等辺三角形」の性質と証明だ。
「二等辺三角形って、結局なにを使えばいいの？」……このモヤモヤ、ここで終わらせよう。結論。二等辺三角形は「2辺が等しい」が出発点。「底角は等しい」を使い、証明では合同を作る。 これだけ。
自分（ほしてぃー）が17年見てきて感じるのは、ここでつまずく子がめちゃくちゃ多いってこと。でも安心してくれ、用語を整理すれば一気に点が取れる単元だ。10月は2学期の中間・期末テストに向けて、図形の証明が出やすい時期。いっしょに固めていこう。
二等辺三角形とは？まず3行で結論
二等辺三角形とは、2つの辺の長さが等しい三角形のことだ。等しい2辺にはさまれた角を頂角、頂角に向かい合う辺を底辺、底辺の両端の角を底角と呼ぶ。
3行でまとめるぞ。
- 定義：2辺が等しい三角形
- 定理1：2つの底角は等しい
- 定理2：頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する
めちゃくちゃシンプルだろ？「定義」は言葉の約束、「定理」は証明されて使えるようになったルール。この違いが、あとで記述問題で効いてくる。
ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。
二等辺三角形で点を取る3つのコツ
コツは3つ。
- 図に印をつける。 等しい辺には同じ印、等しい角には同じ印。印をつけるだけで、使える条件が目で見える。
- 定義と定理を分けて言えるようにする。 「2辺が等しいから二等辺三角形」は定義、「二等辺三角形だから底角が等しい」は定理。
- 逆も使う。 「2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である」。角が等しいと分かったら、辺が等しいと言える。
おれが塾でいつも生徒に言ってるのは、「迷ったら図に戻れ」ってこと。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。
証明そのものが苦手なら、中2数学・図形の証明の書き方で型から確認してほしい。合同条件は中2数学・三角形の合同条件にまとめてあるぞ。
二等辺三角形でつまずく定番パターンと、その抜け方
つまずき方には型がある。5つ挙げるぞ。
- 底角と頂角の取り違え。 底角は「等しい2辺の、反対側にある角」。頂角は等しい2辺ではさまれた角。ここがズレると計算が全部ズレる。
- 「底角は等しい」を、使えない場面で使う。 問題が「底角が等しいことを証明せよ」なら、それを理由にしたらアウト。合同を使って示す。
- 等しい辺を見落とす。 円の半径や、中点で分けた線分は、等しい辺のヒント。
- 逆を使い忘れる。 角が等しいのに、辺が等しいと言えない。
- 正三角形の特別扱い。 正三角形は3辺が等しく、3つの角はすべて60°。二等辺三角形の仲間でもある。
でも安心してくれ、戻ればいけるから。ここを乗り越えると、証明問題の視界が変わる。ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。
実際に解いてみる（例題1〜3）
例題1. AB＝AC の二等辺三角形ABCで、頂角∠A＝40°のとき、底角∠Bは何度？
底角は等しいから、(180°−40°)÷2＝70°。答えは70°だ。
例題2. AB＝AC の二等辺三角形ABCで、底角∠B＝65°のとき、頂角∠Aは何度？
底角∠C＝∠B＝65°。三角形の内角の和は180°だから、180°−65°×2＝50°。答えは50°。
例題3（証明）. AB＝AC の二等辺三角形ABCで、辺BCの中点をDとする。このとき∠B＝∠C を証明しなさい。
【証明】△ABDと△ACDにおいて、 仮定より AB＝AC …① Dは辺BCの中点だから BD＝CD …② 共通な辺だから AD＝AD …③ ①②③より、3組の辺がそれぞれ等しいから、△ABD≡△ACD。 合同な図形の対応する角は等しいから、∠B＝∠C。
これが型だ。「仮定→等しいものを3つ並べる→合同条件→結論」。この流れを体に入れてくれ。
ここ、塾でいつも生徒にこう言ってる：「証明は、パズルじゃなくて手順書だ」って。
よくある質問（FAQ）
Q. 二等辺三角形の底角の求め方は？
A. 底角は、(180°−頂角)÷2 で求められる。2つの底角は等しいから、内角の和180°から頂角をひいて、2で割るだけだ。
Q. 二等辺三角形の定義と定理の違いは？
A. 定義は「2辺が等しい三角形」という言葉の約束で、証明はいらない。定理は「底角は等しい」のように、証明されて使えるようになったルールのことだ。
Q. 直角三角形の合同条件は？
A. 2つある。「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」と「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」。二等辺三角形の証明で、垂線を引いたときによく使う。
まとめ：今日からやることはこの3つ
- 図に、等しい辺と等しい角の印をつける。
- 底角の計算を3問解く。(180°−頂角)÷2 を口に出して。
- 例題3の証明を、何も見ずに書いてみる。
これだけ。ほんとに、これだけでいい。
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よっしゃー、いっしょにいこう！いー夢見ろよ。
よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！
