中3数学・二次方程式の文章題｜立式の型と解の吟味で点を取る
ほしてぃー ・
よっしゃー！いくぜ！今日は中3数学の二次方程式の文章題を、ガチで攻略する。
結論から言う。二次方程式の文章題は「xを決める → 式を1本立てる → 答えが問題に合うか確かめる」の3手で、型どおりに解ける。 難しいのは計算じゃない。立式と、最後の確認だ。
2学期の期末テストも、入試の大問も、この型を知っているかどうかで差がつく。自分（ほしてぃー）が17年見てきて感じるのは、解の公式や因数分解はできるのに、文章題になると手が止まる子がめちゃくちゃ多いってこと。でも安心してくれ、型さえ入れば止まらなくなる。
中3数学の二次方程式の文章題とは？まず3行で結論
二次方程式の文章題とは、問題文の数量関係をxの二次方程式に直して解き、出た答えが問題に合うかまで確かめる問題のことだ。x² が出てくるのは、面積・連続する整数の積や2乗・道幅など、かけ算がからむ場面が多い。
3行でまとめるぞ。
1行目。求めたいもの（または基準になるもの）をxとおく。 2行目。「等しい関係」を探して、式を1本にする。 3行目。出た解をそのまま答えにせず、問題に合うか確認する。
これだけ。塾でいつも生徒にこう言ってる：「文章題は日本語から式への翻訳。計算は翻訳のあとだ」。ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。
二次方程式の文章題で点を取る3つのコツ
コツ1：xは「聞かれているもの」か「一番式にしやすいもの」にする。 連続する2つの整数なら、小さい方をxとして、もう一方をx+1と書く。長方形なら短い辺をxにすると、もう一方がx+3のようにシンプルに書ける。
コツ2：図か表を書く。 面積の問題は、図にxや数字を書き込むだけで式の半分ができたようなもの。頭の中だけで立式しようとするのが、つまずきの一番の原因だ。
コツ3：「等しいもの」を探す。 「面積が40cm²」「和が145」「～になった」と書いてある部分が、イコールの右側になる。ここがコツ。
式が立ったら、ax² + bx + c = 0 の形に整理して、因数分解で解けるかを先に試す。無理なら解の公式だ。二次方程式そのものの解き方に不安がある人は、先に 中3数学・二次方程式｜解の公式と因数分解の使い分け を読んでから戻ってきてくれ。
ここ、めちゃくちゃ大事だ。立式が決まれば、あとは作業。
二次方程式の文章題でつまずく定番パターンと、その抜け方
自分が教室で見てきたミスは、ほぼ次の4つに集まる。
- 展開ミス。 x(x+3) を x² + 3 と書いてしまう。正しくは x² + 3x。かっこは分配してから移項。
- 移項の符号ミス。 x² + 3x = 40 を x² + 3x + 40 = 0 にしてしまう。右辺にあった40は、移すとマイナスになる。
- 解の吟味を忘れる。 長さが負の数になっても、そのまま答えにしてしまう。ここで点を落とす子、マジで多い。
- 単位の書き忘れ。 cm、m、個など、答えに単位をつける。
特に3つ目。結論。解が2つ出たら、問題の条件に当てはめて確かめる。 長さや人数は正の数、「整数」と書いてあれば整数。これだけで、記述式の点がごっそり変わる。
実際に解いてみる（例題3問）
例題1（連続する整数）：連続する2つの正の整数があり、それぞれの2乗の和が145になる。この2つの整数を求めなさい。
小さい方をxとすると、大きい方はx+1。 x² + (x+1)² = 145 2x² + 2x + 1 = 145 x² + x − 72 = 0 (x + 9)(x − 8) = 0 x = −9, 8
正の整数だから x = 8。答えは 8と9。確かめ：64 + 81 = 145 でピッタリだ。
例題2（長方形の面積）：縦が横より3cm長い長方形があり、面積は40cm²である。横の長さを求めなさい。
横をx cmとすると、縦は(x+3)cm。 x(x + 3) = 40 x² + 3x − 40 = 0 (x + 8)(x − 5) = 0 x = −8, 5
長さは正だから x = 5。答えは 5cm（縦は8cm、5 × 8 = 40 で合ってる）。
例題3（道幅）：縦10m、横15mの長方形の土地に、図のように縦と横に同じ幅x mの道を十字につくり、道以外の部分（畑）の面積を126m²にしたい。道幅x mを求めなさい。
道を端に寄せて考えると、畑は縦(10 − x)m、横(15 − x)mの長方形と同じ面積になる。 (10 − x)(15 − x) = 126 x² − 25x + 150 = 126 x² − 25x + 24 = 0 (x − 1)(x − 24) = 0 x = 1, 24
道幅は土地の縦10mより短いはずだから、x = 24 は不適。答えは 1m。確かめ：9 × 14 = 126。この「24は不適」を書けるかどうかが、解の吟味だ。
どうだ、型どおりに動けば、ちゃんと解けるだろ？この発想は、入試の 中3数学・二次関数と図形の融合問題 にもそのまま使える。
よくある質問（FAQ）
Q. 二次方程式の文章題で、解が2つ出たらどうすればいい？ A. 2つとも問題の条件に当てはめて、合うものだけを答えにする。長さ・人数・個数は正の数、「整数」とあれば整数、というのが基本の条件だ。両方合う場合は、2つとも答える。
Q. 式がどうしても立てられない時は、どうすればいい？ A. 図か表に、問題文の数量を書き出そう。それでも止まったら、xに具体的な数（たとえば5）を入れて、実際に計算してみる。やっていることがつかめると、式にできる。
Q. 二次方程式の文章題は、入試に出る？ A. 大問として単独で出る年もあれば、図形や関数の問題の途中の設問として使われることもある定番テーマだ。出題の形は地域で違うから、受ける地域の過去問で確認しておこう。
まとめ：今日からやることはこの3つ
- 例題1〜3を、解答を隠してもう一度、自力で解く。立式の型が体に入る。
- 学校のワークの文章題を3問選んで、「xを決める → 図に書く → 等しい関係を探す」の順で立式だけ書く。解くのは次の日でOK。
- 解が出たら、毎回「この答えは問題に合うか？」と声に出して確認。不適な解には「不適」と書く。
おれは、文章題が苦手な子ほど、型が入った時にぐっと伸びるのを何度も見てきた。今日3問やった子と、やらなかった子の1か月後は、ガチで違う。
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よっしゃー、いっしょにいこう！
よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！
