中3数学・円と相似の融合問題｜補助線はここに引く
ほしてぃー ・
よっしゃー！いこうか！今日のテーマは、中3数学で一番「センスが要る」と言われがちな、円と相似の融合問題だ。
結論から言う。円と相似の融合問題は、円周角の定理で「等しい角」を見つけて、2つの角が等しい三角形のペアをつくれば解ける。 センスじゃない。型だ。この型を3つ渡すから、今日で苦手を終わらせようぜ。
円と相似の融合問題とは？まず3行で結論
円と相似の融合問題とは、円周角の定理で等しい角を見つけ、三角形の相似をつくって辺の長さや比を求める問題のことだ。
やることは3行。
- 円の中に三角形のペアを探す
- 同じ弧に対する円周角を探して、等しい角に印をつける
- 2組の角が等しければ相似。比の式を立てて解く
ここ、めちゃくちゃシンプルだろ？自分（ほしてぃー）が17年見てきて感じるのは、つまずく子はだいたい「補助線を引く前に、等しい角を探していない」ということ。順番が逆なんだ。
ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。
円と相似の問題で点を取る3つのコツ
コツ1。同じ弧に注目する。 同じ弧に対する円周角は全部等しい。図の中で「同じ弧を見ている角」をペンで揃えて印をつける。これだけ。
コツ2。対頂角と共通の角を探す。 円周角が1組見つかったら、あと1組は対頂角か共通の角で足りることが多い。2組そろえば相似の条件OK。
コツ3。直径を見たら90°。 直径に対する円周角は90°だ。直径が出てきたら、直角三角形が隠れていると思ってくれ。
塾でいつも生徒にこう言ってる：「図を見たら、まず弧を探せ」。
この3つを守るだけで、補助線に迷う時間が半分になる。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。
円と相似でつまずく定番パターンと、補助線の引き方
つまずきポイントは3つに絞れる。
- 相似な三角形の「対応する頂点」をずらして書いてしまう
- 等しい角を探さず、いきなり比の式を立てようとする
- 補助線を「なんとなく」引いてしまう
補助線の引き方は、目的がはっきりしている。
- 弦が2本あって交わらない時は、2点を結んで三角形のペアをつくる
- 直径があるのに直角が見えない時は、直径の両端と円周上の点を結ぶ
- 同じ弧を見る角がない時は、弧の両端と円周上の点を結んで円周角をつくる
めちゃくちゃ多いんだけど、これでつまずく子。でも安心してくれ、戻ればいけるから。円周角の基本が怪しい人は、円周角の定理の使い方3パターンに戻って、等しい角の見つけ方を先に固めよう。相似の対応のミスが多い人は、相似と相似比のまとめで比の立て方を確認してくれ。
戻るのは恥ずかしいことじゃない。強くなる人ほど、ちゃんと戻る。
実際に解いてみる（例題1〜2問）
例題1：円の中で2本の弦が交わる問題
円周上に4点A、B、C、Dがあり、弦ACと弦BDが円の内部の点Pで交わっている。AP＝4、PC＝6、BP＝3のとき、DPの長さを求めよ。
手順はこうだ。
- △APBと△DPCに注目する
- ∠BAC＝∠BDC（どちらも弧BCに対する円周角）
- ∠APB＝∠DPC（対頂角）
- 2組の角が等しいので、△APB ∽ △DPC
対応は A→D、P→P、B→C。だから AP：DP＝BP：CP。
4：DP＝3：6 より、DP＝8。
答えは8。結論。等しい角を2組そろえたら、あとは比を解くだけ。
例題2：直径と垂線の問題
ABを直径とする円で、円周上に点Cをとる。Cから ABに下ろした垂線の足をHとする。AH＝2、HB＝8のとき、CHの長さを求めよ。
- 直径に対する円周角は90°なので、∠ACB＝90°
- △AHCと△CHBを見る。∠AHC＝∠CHB＝90°
- ∠ACH＝90°−∠CAH、∠CBH＝90°−∠CAH なので、∠ACH＝∠CBH
- 2組の角が等しいので、△AHC ∽ △CHB
AH：CH＝CH：HB より、CH²＝AH×HB＝2×8＝16。CH＝4。
答えは4。直径を見たら90°。これだけ。
この例題2は、直角三角形の辺の長さを求める流れに近い。三平方の定理とセットで使う問題も多いから、三平方の定理の典型問題も一緒に押さえると入試で強い。
よくある質問（FAQ）
Q. 円と相似の融合問題で、補助線はどこに引けばいいですか？
A. 迷ったら「同じ弧を見る角をつくる線」を引きます。弧の両端と円周上の点を結ぶと円周角ができ、等しい角が見つかります。直径があるときは、直径の両端と円周上の点を結んで90°を作るのも定番です。
Q. 相似になる三角形が見つからないときは？
A. 図に出てくる角に、同じ弧に対する円周角ごとに同じ印をつけてください。印が2つそろった三角形のペアが相似です。対頂角や共通の角も見落とさないのがコツです。
Q. 入試ではどのくらい出ますか？
A. 高校入試の数学では、円と相似の融合問題は大問の後半に出ることが多い定番のテーマです。毎年同じ形とは限りませんが、等しい角を探す型は共通して使えます。
まとめ：今日からやることはこの3つ
- 図を見たら、同じ弧に対する円周角にまず印をつける
- 対頂角・共通の角・直径の90°で、2組の角をそろえる
- 相似の対応する頂点を順番どおりに書いてから、比の式を立てる
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よっしゃー、いっしょにいこう！おれは、きみが「補助線、見えた！」と言う瞬間を楽しみにしてる。いー夢見ろよ。
よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！
