中3数学・二次関数と図形の融合問題｜入試頻出パターンの解き方

よっしゃー！いくぜ、今日は中3数学の中でも入試で超頻出の「二次関数と図形の融合問題」だ。二次関数と図形の融合問題は、y=ax²のグラフと三角形・四角形を組み合わせて座標や面積を求めさせる、公立高校入試の得点源になる単元だ。結論から言う。パターンはたった3つ。ここを押さえれば、模試でも入試本番でも大問の後半で一気に点が伸びる。

自分（ほしてぃー）は17年この仕事をしてきて感じるんだけど、この単元は「難しい」んじゃなくて「型を知らないだけ」で失点してる子がめちゃくちゃ多い。でっ！今日はその型を全部渡す。最後まで読んで、次の模試で試してみてくれ。

二次関数と図形の融合問題とは？まず3行で結論

二次関数と図形の融合問題とは、y=ax²のグラフ上にある点の座標を使って、三角形の面積や四角形の面積、直線の式を求めさせる入試の定番問題のことだ。出てくる要素は「放物線」「直線」「座標」「図形の面積」の4つだけ。この4つの関係を整理できれば、見た目が複雑でもやることは同じだ。

ここがやばいポイントだ。多くの子が「図形の問題だ」と身構えて固まってしまうんだけど、実際は9割が座標の計算問題。図形の知識よりも、座標をどう文字で表すかがカギになる。ここまでOK？よっしゃ、次いくぜ。

二次関数と図形の融合問題で点を取る3つのコツ

コツは3つだけだ。

1つ目、交点の座標は必ず連立方程式で出す。放物線の式と直線の式を=でつないで、xについて解く。ここで符号ミスする子がめちゃくちゃ多いから、暗算せずに1行ずつ書くこと。

2つ目、面積を求める図形は、y軸に平行な線で分割する。三角形の頂点がバラバラな位置にあっても、y軸に平行な補助線を1本引くだけで、底辺と高さがすぐ見える形に変わる。これ、塾でいつも生徒にこう言ってる。「三角形が斜めってたら、まっすぐな線で切れ」って。

3つ目、座標は文字で置いて、あとから式を作る。動く点の問題では、座標を(t, at²)のように文字でおいてから面積や長さの式を立てる。ここを飛ばして数字だけで考えようとすると、応用問題で確実に詰まる。

この3つ、おれは毎回の授業で口を酸っぱくして言ってる。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。

二次関数と図形の融合問題でつまずく定番パターンと、その抜け方

つまずくパターンは大体決まってる。

1つ目は「放物線の基本があやふやなまま図形に挑む」パターン。y=ax²のグラフの形や、xの値からyを求める計算に時間がかかる子は、まずそこを固めるのが先だ。中3数学のy=ax²の関数の基本を先に一周してから戻ってくると、驚くほどスムーズに進む。

2つ目は「面積を求める公式を丸暗記しようとする」パターン。三角形の面積は底辺×高さ÷2で変わらないんだけど、「底辺と高さがどこにあるか」を毎回図の中から見つける練習をしないと、公式だけ知ってても使えない。

3つ目は「途中式を書かずに暗算する」パターン。特に交点の座標を求めるところは、符号のミスが命取りになる。めちゃくちゃ多いんだけど、これでつまずく子。焦らず1行ずつ書く癖。これだけで正答率がガラッと変わる。

でも安心してくれ、戻ればいけるから。

実際に解いてみる（例題1〜2問）

例題1：放物線y=x²上に2点A(-1, 1)、B(2, 4)がある。直線ABの式を求めよ。

まず傾きを出す。傾きは(4-1)÷(2-(-1))=1だ。直線の式をy=x+bとおいて、点Aの座標を代入すると1=-1+bになるから、b=2。答えはy=x+2。ここまでは中2の一次関数の復習と同じ流れだから、怖がる必要はない。

例題2：例題1の直線ABと、原点Oを通ってy軸に平行な直線がy軸と交わる点をCとする。三角形OACの面積を求めよ（Oは原点）。

直線ABの切片が2だから、点Cの座標は(0, 2)。三角形OACは、OC（y軸上の長さ2）を底辺、点Aのx座標の大きさ（符号を外した値）1を高さと考えれば、面積は2×1÷2=1。結論。y軸に平行な線を底辺にすると、高さがそのままx座標になる。これだけ。

よくある質問（FAQ）

Q. 二次関数と図形の融合問題は、どこから勉強し直せばいいですか？ A. まずはy=ax²のグラフの基本、座標の求め方、一次関数の式の作り方の3つが土台になる。この3つに不安がある場合は、そこを先に固めるほうが結果的に近道だ。土台ができていれば、融合問題は組み合わせるだけになる。

Q. 面積を2等分する問題が特に苦手です。どう考えればいいですか？ A. 面積を2等分する問題は、通る直線が図形の重心や中点を通ることが多いパターンの1つだ。まずは基本の面積の求め方を固めてから、中点の座標の公式(x1+x2)÷2、(y1+y2)÷2とセットで練習すると、パターンが見えてくる。

まとめ：今日からやることはこの3つ

今日からやることは3つだ。

1つ目、y=ax²の基本計算を1日5問だけ、正確に解く練習をする。 2つ目、面積を求める図形は必ずy軸に平行な補助線を引く癖をつける。 3つ目、交点の座標を求める計算は、暗算せず1行ずつ書く。

この3つを2週間続けるだけで、模試の大問後半の正答率は変わってくる。自分は17年間、この積み重ねで結果を出してきた生徒をずっと見てきた。

この単元、動画でガッチリ固めたいやつは、ゆめのばの無料会員登録から全学年・5科目の授業動画と問題PDFが見放題だ。おれが待ってるぞ。

よっしゃー、いっしょにいこう！次の模試で、この型を試してみてくれ。焦らず1つずつ積み上げていけば、ちゃんと点数になる考え方だ。

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よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！