中2数学・多角形の内角と外角｜公式を丸暗記せずに作る方法
ほしてぃー ・
よっしゃー！いこうか！今日は中2数学の「多角形の内角と外角」を、公式の丸暗記なしで自分の手で作れるようにするぞ。結論から言う。内角と外角は、公式を覚えるんじゃなくて「三角形に切る」「一周は360度」——この2つの土台から自分で作り出すものだ。ここを押さえたら、五角形でも十二角形でも、もう二度と迷わない。
自分（ほしてぃー）が17年見てきて、この単元でつまずく子はめちゃくちゃ多い。でも理由はいつも同じで、公式を「意味ごと」じゃなくて「文字の並び」で覚えようとしてるからなんだ。180×(n−2)、これを呪文みたいに覚えると、n−2なのかn+2なのか本番で分からなくなる。だから今日は、覚えるんじゃなくて作る。いくぜ。
多角形の内角と外角とは？まず3行で結論
多角形の内角とは、多角形の頂点で、隣り合う2辺の内側にできる角のことだ。外角とは、1辺をそのまま外へ伸ばしたときに、隣の辺との間にできる角のことだ。そして中2で一番大事な事実がこれ——どんな多角形でも、外角の和はいつも360度。三角形でも百角形でも、外を一周ぐるっと回れば必ず360度になる。
ここがこの単元の心臓だ。内角の和は形によって変わるけど、外角の和だけは何角形でも360度で固定。この1個をまず握ってくれ。ここ、めちゃくちゃ大事だから、もう一回読んでくれ。
多角形の内角の和で点を取る3つのコツ
n角形の内角の和は 180×(n−2) で出る。でもさっき言った通り、この式は覚えるんじゃなくて作るぞ。塾でいつも生徒にこう言ってる：「多角形の中に、一つの頂点から線を引いて、三角形に切り分けてみろ」。
五角形なら、1つの頂点から対角線を引くと三角形が3個できる。三角形1個の内角の和は180度だから、180×3＝540度。この「3」はどこから来た？ 頂点が5個ある五角形を、5−2＝3個の三角形に切ったからだ。だから n角形なら (n−2) 個の三角形、内角の和は180×(n−2)。ほら、自分で作れただろ？
コツは3つ。ひとつ、まず「三角形に切る」イメージを先に持つ。ふたつ、n−2の「−2」は切り分けたとき必ず出る数だと体で覚える。みっつ、正多角形の1つの内角を聞かれたら、内角の和をn（頂点の数）で割るだけ。めちゃくちゃシンプルだろ？ ここまでOK？ よし、次いくぜ。
多角形の外角でつまずく定番パターンと、その抜け方
外角でつまずく子には、はっきり2つのパターンがある。自分が現場で何百回も見てきたやつだ。
1つ目は「外角の和も形で変わると思い込む」パターン。これは違う。外角の和はどんな多角形でも360度で固定。だから正n角形の1つの外角は、360÷n で一発だ。正十二角形の1つの外角なら 360÷12＝30度。内角の和から回りくどく計算する必要はない。
2つ目は「内角と外角を足すと180度になるのを忘れる」パターン。1つの頂点で、内角と外角はまっすぐな一直線（180度）を作る。だから内角が分かれば外角は 180−内角、外角が分かれば内角は 180−外角。正十二角形なら、外角が30度だから内角は180−30＝150度。内角の和の公式を使わなくても出せる。この「逃げ道」を持ってるかどうかで、テストのスピードが変わる。ここを乗り越えると、ほんとに視界が変わる。
正負の数や文字式の計算が怪しいと、ここの割り算でつまずくことがある。不安な人は先に中2数学・式の計算の記事で計算の土台を固めてから戻ってこい。戻ればいけるから、安心してくれ。
実際に解いてみる（例題2問）
手を動かすぞ。読むだけじゃ身につかない。
例題1：正八角形の1つの内角は何度か。 まず外角から攻める。外角の和は360度、頂点は8個だから、1つの外角は 360÷8＝45度。内角＝180−45＝135度。答えは135度。内角の和の公式を使わなくても、この順番なら速い。
例題2：内角の和が1080度の多角形は何角形か。 180×(n−2)＝1080 という式を作る。両辺を180で割ると n−2＝6。だから n＝8。答えは八角形。式を「作れる」と、逆算もこの通りスッと解ける。
体で覚えるコツ。結論。外角は割り算、内角は引き算。これだけ。ここ、塾でも一番テストに出るところだから、もう一回声に出して読んでくれ。
よくある質問（FAQ）
Q. 内角の和の公式は180×(n−2)ですか、180×n−360ですか？ A. どっちも同じ式だ。180×(n−2)を展開すると180×n−360になる。だから答えは変わらない。おれのおすすめは「三角形に切る」イメージと直結する180×(n−2)の形で覚えること。意味とつながってる方が、本番で崩れない。
Q. 外角の和はなぜどんな多角形でも360度なんですか？ A. 多角形の外側をぐるっと一周すると、方向が最初と同じ向きに戻る。その「回った角度の合計」が外角の和で、一周＝360度だからだ。頂点が何個あっても、一周は一周。だから常に360度になる。
Q. 正多角形の1つの内角を一番速く出す方法は？ A. 360÷n で外角を出して、180から引く。これが最速だ。内角の和を出してnで割る方法より計算がラク。
まとめ：今日からやることはこの3つ
今日の武器を3つに絞るぞ。ひとつ、内角の和は「三角形に切る」から作る（180×(n−2)）。ふたつ、外角の和はどんな形でも360度で固定、正n角形の外角は360÷n。みっつ、1つの頂点で内角＋外角＝180度、だから外角から内角は引き算一発。この3つを握れば、多角形の角度問題はもう怖くない。
この単元、動画でガッチリ固めたいやつは、ゆめのばの無料会員登録から全学年・5科目の授業動画と問題PDFが見放題だ。おれが待ってるぞ。
▶ 次に読むならこれ：
多角形は、公式を覚えるゲームじゃない。図の中に三角形を見つけて、一周360度を思い出す。それだけできみは自分の手で答えを作れる。おれは、きみのその「自分で作れた」瞬間を17年ずっと見てきた。だから信じて手を動かしてくれ。
よっしゃー！！今日も熱くいくぞ！！！
